You are currently viewing Czy istnieją liczby doskonałe?

Czy istnieją liczby doskonałe?

Tak naprawdę każdy z nas mógłby wybrać swoje własne kryterium doskonałości liczb i na tym bazować swoje dalsze wnioski i twierdzenia. Kto nam zabroni, to tylko nazwa 😉

Tak się jednak składa, że w powszechnie używanym standardzie matematycznym zdefiniowano już, jakie konkretnie liczby są nazywane doskonałymi i w różnych artykułach czy pracach naukowych najprawdopodobniej będą one definiowane właśnie w poniższy sposób.

Definicja: Liczbą doskonałą nazywamy liczbę, która równa się sumie wszystkich swoich właściwych dzielników (mniejszych niż ona sama).

Najmniejszymi liczbami doskonałymi są:

    \[6 = 1 + 2 + 3\]

    \[28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14\]

Kolejne to: 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128.

Jak widać, nie jest to zjawisko zbyt częste 😉

Tak naprawdę na razie nie udało się nikomu znaleźć jednego “przepisu”, który pozwoli wyznaczyć wszystkie liczby doskonałe. Dzięki Eulerowi wiemy, że wszystkie PARZYSTE liczby doskonałe muszą być postaci

    \[(2^p - 1) \cdot 2^{p-1}\]

gdzie (2^p - 1) jest liczbą pierwszą.

Zauważ, że 6 i 28 spełniają powyższe warunki dla p równych 2 i 3 odpowiednio.

Jeśli chodzi o liczby doskonałe nieparzyste, to nie mamy pewności, że nie istnieją, ale jak na razie nie udało się znaleźć żadnej mniejszej niż 10^{1500} (więc widzisz, na jakich ogromnych liczbach już się operuje, żeby ich szukać).

A Ty jakie liczby uważasz za doskonałe? 🙂

Dodaj komentarz