You are currently viewing Jaka jest szansa trafienia szóstki w Lotto?

Jaka jest szansa trafienia szóstki w Lotto?

Dziś obliczymy prawdopodobieństwo trafienia szóstki w Lotto.

Aby je obliczyć, wprowadźmy kolejne pojęcie z działu kombinatoryki – kombinacje. Dotyczy ono liczby możliwości wybrania dokładnie k różnych elementów spośród n możliwych.

W tym przypadku wybieramy 6 elementów z 49.

Liczbę kombinacji obliczamy ze wzoru na tzw. symbol Newtona czy też dwumian Newtona (symbol czyta się “n nad k” lub “n po k“).

    \[{n}\choose{k}\]

Dla k różnych elementów wybieranych spośród n możliwości wzór na dwumian Newtona przyjmuje postać:

    \[{{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\]

(Zapis n! był wytłumaczony w tej ciekawostce)

Podstawmy wartości dla Lotto…

    \[\frac{49!}{6! \cdot 43!} = \frac{43! \cdot 44 \cdot 45 \cdot 46 \cdot 47 \cdot 48 \cdot 49}{720 \cdot 43!} = \frac{44 \cdot 45 \cdot 46 \cdot 47 \cdot 48 \cdot 49}{720} = 13983816\]

Czyli szansa na trafienie wszystkich 6 wylosowanych numerów to… jak jeden do prawie 14 milionów.

W internecie można znaleźć artykuły opisujące różne rzadkie zdarzenia, które są znacznie bardziej od tego prawdopodobne, chociażby bycie trafionym przez piorun, czego szansa została wyliczona na 1 : 700 000.

Przy założeniu, że los kosztuje 3 zł, to aby mieć 100% pewności, że trafimy szóstkę, musielibyśmy zapłacić za losy prawie 42 mln złotych. Żeby szansa była taka jak przy rzucie monetą, trzeba by zapłacić niemal 21 mln złotych.

____________

Ćwiczenie

Na ile sposobów można wylosować 5 różnych liter z puli 24 możliwych?

Odpowiedź

\displaystyle{24\choose 5} = \frac{24!}{5! \cdot 19!} = \frac{20\cdot 21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24}{120} = 42504

Dodaj komentarz